Transposée de matrice et matrice symétrique

Définition  Transposée de matrice

Soit une matrice  \(A\) de taille \(m\times n\) . On appelle transposée de  \(A\) et on note \(A^T\) la matrice  \(B\) de taille  \(n\times m\) telle que, pour tout  \(i \in \{1~;... ; m\}\)  et  \(j \in \{1~;... ; n\}\) , on a \(a_{ij} = b_{ji}\) . Plus simplement, on peut retenir que la transposition de matrices échange les lignes et les colonnes.

Exemples

Si \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2&3 \\ 4&5&6 \end{pmatrix}\) , alors \(A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\3&6\end{pmatrix}\) .

Si \(B=\begin{pmatrix} -6 & 3 &5\\2 & 1&6 \\ 4 & 0&2\end{pmatrix}\) , alors \(B^T= \begin{pmatrix} -6 & 2& 4\\ 3 & 1&0\\5&6&2 \end{pmatrix}\) .

Définition  Matrice symétrique

Une matrice \(A\)  carrée d’ordre  \(n\) est symétrique si, pour tout  \(i \in \{1~;... ; n\}\)  et  \(j \in \{1~;...; n\}\) , on a \(a_{ij} = a_{ji}\) .

Exemple

\(A= \begin{pmatrix} -6 & 2& 4\\ 2 & 1&0\\4&0&2 \end{pmatrix}\) est symétrique.

Propriété  

Une matrice \(A\) carrée d’ordre  \(n\) est symétrique si et seulement si \(A^T= A\) .

Remarques

Plaçons-nous dans l'ensemble des matrices carrées de dimension  `n\timesn`  :

• les matrices symétriques à coefficients réels peuvent être « transformés » en matrices diagonales et ainsi il sera aisé d'en exprimer la puissance n-ième ;
  
• la transposée d'une matrice symétrique est égale à elle-même ;
  
• la transposée de la transposée d'une matrice A carrée quelconque est la matrice A.